テーマ:高校数学

幾何の問題。高校レベルかな。(5)解析幾何による強引な証明。

解析幾何の手法を使えば、強引でエレガントではありませんが、一生懸命に計算をすれば結果を出せます。やってみましょう。要点は、直線の方程式を連立させて、交点の座標を求め、座標間の距離を求めるのです。 添付のように記号をつけます。点P の座標を(a,b) とし、そこを通る直線と、直線m1 および直線n1 の交点を、直線の連立方程式から求…
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幾何の問題。高校レベルかな。(4)ベクトルの考えをつかった証明。

問題の出所がベクトルに近いので、ベクトルをつかった証明をのせよう。 斜交座標系( i, j) をと考える(図参照)。 ベクトルx の反変成分を(k1,k2) とする。共変成分を(j1, j2) とする。 (1)p1・q1 を計算する。 q1 はベクトルx と単位ベクトルi の内積で表されるから、         p…
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幾何学の問題。高校レベルかな。(3)余弦定理をつかった証明。

前回は正弦定理をつかった証明を示した。今回は第二余弦定理をつかった証明を示そう。 添付図のように記号を定める。 (1)三角形 PDQ を考える。この三角形に対し、第二余弦定理を適用する。すると、         p^2 = d^2 + l^2 - 2 d l cos(α)        (1) である。 ただし…
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幾何の問題。高校レベルかな。正弦定理をつかった証明。

正弦定理をつかった証明を示そう。 ・円に内接する長方形となっているが、内接は本質的ではない。点 R は証明には出てこない。 ・添付図のように角度を記号で表そう。すなわち、         ∠APQ = φ (= ∠DQP 錯角)         ∠CPQ = θ (= ∠BQP 錯角)         ∠PBQ = α…
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幾何の問題。高校レベルかな。

物理の本を読んでいたら、ベクトルに関する記述があった。それを幾何の問題に書き直すと、以下のようになった。 ・対角線 PQ を共有する長方形、APSQ と RPCQ がある。 ・辺 AP と辺 RQ の交点を B とする。 ・辺 SQ と辺 PC の交点を D とする。 以上を図で示す。 ・辺 AP の長さを a、辺 BP …
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