地中に潜っていくと、働く重力は足元より下の球の部分だけ。物理学の定理。

地中深く潜っていくと、働く重力は、自分より下の部分の球体だけになります。だから、地球の中心では無重力になります。また、地球の外から見ると、地球の大きさはあっても、働く重力は、地球全体の質量が地球の中心に集中していると仮定したものと同じものになります。物理学の初等的な定理です。説明しましょう。図を参照してください。

質量M をもつ、半径a の球殻を考えます。これの面密度は
     s = M/(4πa^2)
となります。図のように円環を考えると、その微小面積と質量は、
     dA = 2π(asinθ)(adθ)
     dM = (2πa^2sinθdθ)s = (1/2)Msinθdθ
となる。幾何学的な関係
     r^2 = a^2 +R^2 -2aRcosθ
を微分して
     rdr = aRsinθdθ = 2aRdM/M
すなわち
     dM = Mrdr/(2aR)
が得られます。

一方、万有引力のポテンシャルは、
     dV = -(GMdM)/r
でしたので、これに上の式を代入すると、
     dV = -(GMm)/(2aR)・dr
となります。

そこで、ポテンシャルV は dV を r について積分すれば得られます。すなわち、
     V = ∫dV = -(GMm)/(2aR)・(rmax-rmin)
ここに、積分の上限と下限を rmax, rmin とおきました。

(1)球殻のそとにいるとき。
球殻の外にいるときは、
     rmax - rmin = 2a
ですので
     V = -(GMm)/R
が得られます。
これは、地球の全質量がその中心に集中していることに相当します。距離R しか関係しません。

(2)球殻の内部にいるとき。
球殻の内部にいるときは、
    rmax - rmin = 2R
なので、ポテンシャルは、
     V = -(GMm)/a
となります。
これは、V=const であり、力は F = dV/dr ですので、F =0 となり、結局、力を受けないことになります。

(3)上記の結果を地球にもぐりこんでいる状況に適用すると、そのひとは、自分の足元より下の球体の引力(重力)は受けるが、自分のいる地球半径より上の部分の力は受けないということになります。

面白いというか、当然の結果です。
物理学の初等的な定理でした。お粗末でした。お後がよろしいようで。。。。。

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