幾何の問題。高校レベルかな。(5)解析幾何による強引な証明。

解析幾何の手法を使えば、強引でエレガントではありませんが、一生懸命に計算をすれば結果を出せます。やってみましょう。要点は、直線の方程式を連立させて、交点の座標を求め、座標間の距離を求めるのです。

添付のように記号をつけます。点P の座標を(a,b) とし、そこを通る直線と、直線m1 および直線n1 の交点を、直線の連立方程式から求めるものです。

画像


(0)準備
直線m1 および直線m2 の傾きを θとします。すると、m=tanθ とすると、直線m1 の方程式は、y=mx となります。
同様に、直線n1 および直線n2 の傾きを φ 、n=tanφ とおくと、直線n1 の方程式は、y=nx となります。
角度と直線の傾きの関係 m=tanθ から、1+m^2=1/(cosθ)^2 となります。この式はあとでつかいます。
同じく、1+n^2=1/(cosφ)^2 です。

(1)点A のx座標を求める。
直線n2 と直線m1 の方程式を連立させて、その解として点A の座標を求める。
        y-b=n(x-a)
        y=mx
より、
        x=(-na+b)/(m-n)

(2)点B のx座標を求める。
        y-b=(-1/m)(x-a)
        y=mx
より、
        x=(a+mb)/(m^2+1)

(3)点C のx座標を求める。
        y-b=m(x-a)
        y=nx
より、
        x=(-ma+b)/(n-m)

(4)点D のx座標を求める。
        y-b=(-1/n)(x-a)
        y=nx
より、
        x=(a+nb)/(n^2+1)

(5)以上より、OA, OB の長さは、
        OA={(-na+b)/(m-n)}/cosθ
        OB={(a+mb)/(m^2+1)}/cosθ
したがって、
        OA・OB={(-na+b)(a+mb)/(m-n)(m^2+1)}/cos^2θ
ここに、1+m^2=1/(cosθ)^2 をつかうと、
        OA・OB=(-na+b)(a+mb)/(m-n)

(6)同様に、OC とOD の長さは、
        OC={(-ma+b)/(n-m)}/cosφ
        OD={(a+nb)/(n^2+1)}/cosφ
この積に、1+n^2=1/(cosφ)^2 をつかうと、
        OC・OD=(-ma+b)(a+nb)/(n-m)
となる。

(7)したがって求める量を計算すると、
        OA・OB + OC・OD=(-na+b)(a+mb)/(m-n) + (-ma+b)(a+nb)/(n-m)
                   =(-na^2+ab-mnab+mb^2 +ma^2-ab+mnab-nb^2)/(m-n)
                   =(-na^2+mb^2 +ma^2-nb^2)/(m-n)
                   ={(m-n)a^2+(m-n)b^2}/(m-n)
                   =a^2+b^2
となり、メデタシメデタシである。
お疲れ様でした。



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幾何の問題。高校レベルかな。(4)ベクトルの考えをつかった証明。
http://44579446.at.webry.info/201106/article_17.html

幾何学の問題。高校レベルかな。(3)余弦定理をつかった証明。
http://44579446.at.webry.info/201106/article_16.html

幾何の問題。高校レベルかな。正弦定理をつかった証明。
http://44579446.at.webry.info/201106/article_15.html

幾何の問題。高校レベルかな。
http://44579446.at.webry.info/201106/article_12.html

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静水力学で証明する第二余弦定理。技術者の見方。
http://44579446.at.webry.info/201102/article_31.html

静水力学で証明する三平方の定理。技術者の見方。
http://44579446.at.webry.info/201102/article_30.html

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