幾何の問題。高校レベルかな。(4)ベクトルの考えをつかった証明。

問題の出所がベクトルに近いので、ベクトルをつかった証明をのせよう。

斜交座標系( i, j) をと考える(図参照)。
ベクトルx の反変成分を(k1,k2) とする。共変成分を(j1, j2) とする。

(1)p1・q1 を計算する。
q1 はベクトルx と単位ベクトルi の内積で表されるから、

        p1 q1 = p1 (p1i + p2j) ・i
         = p1^2 ii + p1 p2 ij
         = p1^2 + p1 p2 cosφ

(2)p2 q2 を計算する。
q2 はベクトルx と単位ベクトルj の内積で表されるから、

        p2 q2 = p2 (p2j + p1i) ・j
         = p2^2 jj + p1 p2 ij
         = p2^2 + p1 p2 cosφ

(3)ベクトルx を対角線とする平行四辺形を考えれば、

        cosφ = cos(π-ψ)
         = -cosψ

(4)以上の結果を集めると、

        p1 q1 + p2 q2 = p1^2 + p2^2 - 2 p1 p2 cosψ

すなわち、第2余弦定理より、これは x^2 に等しい。メデタシメデタシ。

画像





***********
幾何学の問題。高校レベルかな。(3)余弦定理をつかった証明。
http://44579446.at.webry.info/201106/article_16.html

幾何の問題。高校レベルかな。正弦定理をつかった証明。
http://44579446.at.webry.info/201106/article_15.html

幾何の問題。高校レベルかな。
http://44579446.at.webry.info/201106/article_12.html

************
静水力学で証明する第二余弦定理。技術者の見方。
http://44579446.at.webry.info/201102/article_31.html

静水力学で証明する三平方の定理。技術者の見方。
http://44579446.at.webry.info/201102/article_30.html

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!

ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。

→ログインへ

なるほど(納得、参考になった、ヘー)
驚いた
面白い
ナイス
ガッツ(がんばれ!)
かわいい

気持玉数 : 0

この記事へのコメント

この記事へのトラックバック