東京スカイツリーに働く風の力を推測しよう。冬休みの自由研究にどうぞ。

東京スカイツリーにはどのくらいの風の力が働くのでしょうか。概算値を推算してみましょう。まず、色々な簡単化(モデル化)をおこない、それらしい物理数値を代入して、定量的に力を出します。その後、モデルをだんだん現実に近いものとしたり、条件を変えたりして、いろいろと考えていきましょう。

1.東京スカイツリーは地上部では正三角形の断面をしています。一辺ほぼ70メートル。それが上に行くと断面形が塩化して、最後には円形断面になります。また、鉄骨で組まれているので、中空な部分のおる構造物です。なかなか複雑な形状ですが、最初は、
「半径一定の円柱」
と仮定しましょう。

2.風は高さ方向に分布を持っています。1/7乗則とか色々ありますが、ここでは、分布を持たず、高さ方向に一定の風が吹くと仮定しましょう。

3.円柱に一定の風が当たるときの円柱の抵抗は、次の式で表されます。

D = (1/2)+row*v^2*S*Cd

ここに、row は空気の密度、v は風の速度、S は円柱の正面面積で,半径*高さ、Cd は円柱の抵抗係数です。

4.次に、代入する数値を選定しましょう。タワーは直径D=30(m)、で高さ500(m)の円柱と仮定しました。

row = 0.125 (kg*sec^2/m^4)
v = 40 (m/sec)
S = D*L = 30 (m) * 500 (m)
Cd = 0.4  (Reynolds No. は10^6 のオーダーですので、この数値を使います。)

5. さあ、抵抗の式に代入しましょう。

   D = (1/2)*(0.125)*(40)^2*(30)*(500)*(0.4)
     = 6 * 10^5 (kg)
     =600 (ton)

これが、東京スカイツリーに加わる横向きの風の力です。

6.実際に重要なのは、タワーに負荷する横向きの荷重ではなくて、タワーを倒す力、いわゆる転倒モーメントです。
転倒モーメントは、考えている点と荷重点(全体の荷重がそこの一点に負荷していると考えてよい点)の距離と荷重の積です。そこで、荷重点をタワーの高さ方向の中心(高さを500メートルと仮定しているから、250メートル)と仮定すると、この距離との積になります。したがって、

    M = D * (L/2)
     =600 *(500/2) (ton・m)
      = 150,000 (ton・m)

の転倒モーメントが働きます。

7.タワーは、一辺70メートルの正三角形で、この転倒モーメントに耐えなければなりません。難しいのは、風の下流側はタワーが地面を押す(圧縮)のですが、風の上流側は風がタワーを地面から放そうとする(引っ張り)事です。圧縮は地盤を堅くさえしておけばよいのですが、引張りには、地面から基礎構造が抜けないようにしなけばなりません。そこで、添付の絵のような工夫が凝らされた基礎構造になっているわけです。

転倒モーメントに耐えるには、どの程度の力が必要でしょうか。
底面の三角形の頂点をA, B, C とすると、辺ABがヒンジとなり、頂点C で引っ張り(地面の側(下)に引っ張る)力を作らなければなりません。これは、地中に杭を打ち込んで、それが抜けるときの土との摩擦力で絶えるわけです。この摩擦l力はどれだけ必要でしょうか。一辺70メートルの三角形の頂点から対辺へ下ろした垂線の長さは、
      70 * sqrt(3)/2
ですので、必要な引っ張り力を F とすると、上記の転倒モーメント M との関係式が
      M = F * 70*sqrt(3)/2
となりますので、これを F について解けばよいのです。したがって、
      F = M / (sqrt(3)/2)
       = 150,000 / (70*1.73/2)
       = 2474 (ton)
すなわち、2,500 (ton) の引っ張り力(地面との摩擦力と自重)を作り出さないと、点C(引っ張り側の足)で抜けてしまうことになります。
添付の基礎構造でこれだけの力が出せるか(自重とは別に)、そこが土木屋の実力の見せ所です。

8.さて、以上の推算は、極めて簡単化された概算です。推算の精度を上げるには、
(1)高さ方向に断面形状の変化を許し、抵抗係数もそれに適応したものとする。
(2)高さ方向の風の分布を考える。
ことが考えられます。それぞれ、気に入ったモデルを考えて、計算してみましょう。
なお、細長い物体を輪切りにして、その部分部分について2次元の計算が成り立つとの仮定(strip theoryといいます)は、だいたい、成り立ちますので、素人の計算としては、これは変える必要は無いでしょう。(プロは3次元で、もっと現実に即したモデルで計算をしているのでしょう。)

さあ、モデルを変えて計算してみましょう。

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