幾何学の問題。高校レベルかな。(3)余弦定理をつかった証明。

前回は正弦定理をつかった証明を示した。今回は第二余弦定理をつかった証明を示そう。

添付図のように記号を定める。

(1)三角形 PDQ を考える。この三角形に対し、第二余弦定理を適用する。すると、

        p^2 = d^2 + l^2 - 2 d l cos(α)        (1)

である。
ただし、平行四辺形 BPDQ を考えれば、b = l であるので、

        p^2 =d^2 + b^2 - 2 d l cos(α)

となる。

(2)次に、三角形 PDQ の内角の和は当然 π だから、余弦を展開する。

        cos(α) = cos(π - (θ+φ) )
         = - cos (θ+φ)

(3)したがって、(1)式は次のように変形される。

        p^2 = d^2 + b^2 +2 d b cos (θ+φ)

(4)そこで、係数2 がかかっているから、これを二つ分け、第1項と第2項につける。

        p^2 = d^2 + d b cos (θ+φ) + b^2 + d b cos (θ+φ)
         = d ( d + b cos (θ+φ) ) + b ( b + d cos (θ+φ) ) (#)

(5)三角形 QDC を考えると、∠QDC = π -α = θ+φ であるので、
        
         b cos (θ+φ) = l cos (θ+φ)
         = DC
となり、結局、

         d + b cos (θ+φ) = d + DC
         = c ($)
となる。
(6)また、平行四辺形 BPDQ を考えると、d = BQ であり、三角形BQA を考えると、

        AB = BQ sin(∠BQA)
         = BQ sin(π/2 - (θ+φ) )
         = BQ cos(θ+φ)
         = AB
となり、結局、

         b + d cos (θ+φ) = a (%)

(7)したがって、(&)式と(%)式を(#)に代入すると、

        p^2 = dc + ba

が得られて、メデタシメデタシとなる。

画像


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幾何の問題。高校レベルかな。正弦定理をつかった証明。
http://44579446.at.webry.info/201106/article_15.html

幾何の問題。高校レベルかな。
http://44579446.at.webry.info/201106/article_12.html

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静水力学で証明する第二余弦定理。技術者の見方。
http://44579446.at.webry.info/201102/article_31.html

静水力学で証明する三平方の定理。技術者の見方。
http://44579446.at.webry.info/201102/article_30.html


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