幾何の問題。高校レベルかな。正弦定理をつかった証明。

正弦定理をつかった証明を示そう。

・円に内接する長方形となっているが、内接は本質的ではない。点 R は証明には出てこない。

・添付図のように角度を記号で表そう。すなわち、
        ∠APQ = φ (= ∠DQP 錯角)
        ∠CPQ = θ (= ∠BQP 錯角)
        ∠PBQ = α ( = ∠QDP 平行四辺形の対角)

(1)三角形 APQ を考える。∠A =π/2 だから、 a = p cosφ
(2)三角形 BPQ おいて、正弦定理を使うと、 p / sinα = b / sinθ
同じように
(3)三角形 CQP を考えると、∠C = π/2 だから、 c = p cosθ
(4)三角形 CQP において、正弦定理を使うと、 p / sinα = d / sinφ

これから、ab+cd を計算する。すなわち、

        ab + cd = p cosφ・ p sinθ/ sinα + p cosθ ・ p sinφ / sinα
         =( p^2 / sinα)・ ( cosφ sinθ + cosθ sinφ)

このかっこの中は、加法定理をつかってまとまられる。すなわち、

        ab + cd =( p^2 / sinα) ・ sin(φ+θ)

一方、φ+θ+α = πだったから、 sin(φ+θ) = sin(π-α) = sin(α)
したがって、分子と分母が約分できて、

        ab + cd = p^2

が得られる。メデタシメデタシ。

画像



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幾何の問題。高校レベルかな。
http://44579446.at.webry.info/201106/article_12.html

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