水の波の速度。流体力学のお勉強。(その41)

水の波(表面波)の速度は、流体力学の基礎方程式を適当な境界条件の下で解けば求まる。特に、線形近似が成り立つ範囲では、方程式は速度ポテンシャルに対するラプラス方程式となり、境界条件は水の表面における「水の粒子」の運動が表面の形状の変化に等しいという条件となる。また、底での速度の垂直成分がゼロとなることも加わる。

表面波で面白いことは、この境界条件が「分散関係」(振動数と波数の関係)を与えることで、これにより、波の速度の式が与えられてしまうことである。分散関係を式で書くと、

      ω^2 = gk・tanh(kh)

で与えられる。ここに、gは重力加速度、k は波数、h は水の深さである。すると、波の速度(位相速度)は、

      c = ω/k = sqrt( (g/k)・tanh(kh) )

となる。k, h, ω のうち、二つを与えると、すべてが決まるわけである。

この式は、無次元にすると分かりやすい。すなわち、

      c / sqrt(gh) = sqrt( (1/2π)・λ/h ・tanh(2π/λ)
または
      c / (g/ω) = tanh( h/(g/ω^2) )
である。
左辺は、波の位相速度c を速度の次元を持つ量、sqrt(gh)、g/ω で無次元化している。

これらのグラフを書いてみると、次のようになる。

画像


画像


上のグラフは、水の深さhを一定としたときの波長lambdaと速度cの関係を表している。また、下のグラフは、振動数ωを一定としたときの水深h と速度c の関係を表している。すべて無次元にした値である。

これが線形の範囲の水の波の波長、振動数、水深、波の速度の関係である。



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海の波の不思議(その2)。流体力学のお勉強。(その40)
http://44579446.at.webry.info/201103/article_29.html

陸上を走る津波の速度。流体力学のお勉強(その39)
http://44579446.at.webry.info/201103/article_28.html

高速道路における衝撃波Shockの形成。流体力学のお勉強(その38)
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新燃岳「空振」の物理学。君は衝撃波を見たか。流体力学のお勉強(その37)。
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新燃岳「空振」の物理学。衝撃波の強さ。流体力学のお勉強(その36)。
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新燃岳「空振」の物理学。怖いのは熱。流体力学のお勉強(その35)。
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新燃岳「空振」の物理学。衝撃波の後ろの流れ場。流体力学のお勉強(その34)。
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新燃岳「空振」の物理学。爆発エネルギーの効果。流体力学のお勉強(その33)。
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新燃岳「空振」の物理学。衝撃波の伝播速度。流体力学のお勉強(その32)。
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新燃岳爆発の「空振」は衝撃波shock wave による。流体力学のお勉強(その31)。
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衝撃波により圧力は急激に上昇します。流体力学のお勉強。(その30)
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衝撃波の角度とくさびの角度の関係。流体力学のお勉強。(その29)
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超音速で飛行する時の衝撃波形状。流体力学のお勉強。(その25)
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衝撃波とマッハ・コーンとは別物。流体力学のお勉強。(その24)
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衝撃波(ショック・ウエーブ)の誤解。流体力学のお勉強。(その23)
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新幹線車両の空気抵抗。流体力学のお勉強。(その10)
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FIFAワールドカップ ぶれ球はなぜ起こるか。流体力学のお勉強。(その6)
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FIFAワールドカップ ぶれ球はなぜ起こるか。流体力学のお勉強。(その5)
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