静水力学で証明する第二余弦定理。技術者の見方。

三平方の定理が静水力学で証明できたので、つぎは、第二余弦定理を同じ方法で証明しましょう。

1.一般の三角形プリズムを水中に沈めましょう。

2.一つの頂点P を考えます。この点回りのモーメントを計算し、それがゼロになることが第二余弦定理と同等であることを示します。

3.頂点P から対辺へ垂線を下ろします。その足を境として、この対辺(対面)を二つに分けて、面B1 と面B2 とし、それぞれにはたらくモーメントを計算するわけです。モーメントは、圧力と面積とアームの積です。アームは面積の”中心”までの垂直距離です。

4.面A に働くモーメントは、右回転方向に、P・ah・a/2。

5.面C に働くモーメントは、左回転方向に、P・ch・c/2。

6.面B1 に働くモーメントは、左回転方向に、P・acosθh・(acosθ)/2。

7.面B2 に働くモーメントは、右回転方向に、P・(b-acosθ)h・(b-acosθ)/2。

8.点P 回りの回転モーメントの総和は、当然、ゼロ。したがって、4-5項の総和は、回転方向を考えて、ゼロ。P, h は共通なので、省略して、次の式を得る。

     a^2 + (b-acosθ)^2 = c^2 + (acosθ)^2

かっこを開くと、証明すべき式

     c^2 = a^2 + b^2 -2abcosθ

が得られます。証明終わり。

われわれはユークリッド空間に生きているのです。

画像



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静水力学で証明する三平方の定理。技術者の見方。
http://44579446.at.webry.info/201102/article_30.html

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